← Natrag

Funkcije i relacije

Funkcije teorija

Za definiciju funkcije potrebna je:

• Domena
• Kodomena
• Pravilo pridruživanja

Zapis i definicija

• $f:D\to K$, gdje su D i K neprazni skupovi
• pravilo pridruživanja koje svakom $x\in D$ pridružuje točno jedan $y\in K$
  • $x\mapsto y = f(x)$

Injektivnost, Surjektivnost i Bijektivnost

Injektivnost

• $(\forall x_1, x_2 \in D) (x_1 \neq x_2) \implies f(x_1) \neq f(x_2)$
• Funkcija različite elemente domene preslikava u različite elemente kodomene
• Funkcija je injekcija za:
  • $(\forall x_1, x_2 \in D)\space f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$
• Funkcijanije injekcija za:
  • $(\exists x_1, x_2 \in D)\space x_1 \neq x_2 \space \wedge f(x_1) = f(x_2)$

  🟡 Za izvod gore navedenog suda potrebno je znati negaciju implikacije

  $\urcorner (X \Rightarrow Y) \equiv X \space \wedge \space \urcorner Y$

Surjektivnost

• Za svaki element kodomene postoji barem jedan
• $(\forall y \in K)(\exist x \in D) \space y = f(x)$ element domene koji se u njega preslikava
• $Im(f) = K$ tj. Slika funkcije je jednaka kodomeni

Bijekcija

• Za svaki element y iz kodomene postoji jedinstveni element domene x koji se u njega preslikava
• surjekcija i bijekcija
• $(\forall y \in K)(\exist! x \in D) \space y = f(x)$

Horizontalni test

Parnost i neparnost funkcija

Inverzna funkcija

• Definicija inverzne funkcije

  $f:D \to K$ $g:K \to D$ $g$ je inverzna Funkcija od $f$ ako je:

  • $(\forall x \in D)(g \space \circ f)(x) = x$
  • $(\forall y \in K)(f \space \circ g)(y) = y$

  $f^{-1}: K \to D$

• Prema definiciji vrijede funkcija iduća svojstva
  • $(\forall x \in D)\space f^{-1}(f(x)) = x$
  • $(\forall y \in K)\space f(f^{-1}(x)) = x$

Funkcije dokazi

Dokaz

• Kako je teorem iskazan ekvivalencijom (ako i samo ako), onda za dokaz pokazujemo 2 implikacije
• A = “Funkcija $f:D \to K$ ima inverznu fuknciju $f^{-1}:K \to D$”
• B = “Funkcija$f$ je bijekcija”
• $A \implies B$
  • Pretpostavljamo A i dokazujemo B
  • Kako bi dokazali bijektivnost moramo prvo dokazati injektivnost i surjektivnost
  • Injektivnost
    1. Koristimo definiciju injektivnosti $(\forall x_1,x_2 \in D) \space f(x_1)=f(x_2) \implies x_1 = x_2$
    2. Koristimo $f^{-1}(f(x)) = x$
    3. Želimo pokazati da je $x_1 = x_2$
    • $$\begin{align*} f(x_1) &= f(x_2) \qquad\qquad \text{(Primjenjujemo inverz funkcije na obje strane)} \\ f^{-1}(f(x_1)) &= f^{-1}(f(x_2)) \qquad\qquad \text{(Koristimo formulu b)} \\ x_1 &= x_2 \qquad\qquad\qquad \text{(Dokazali smo injektivnost)} \end{align*}$$
  • Surjektivnost
    1. Koristimo definiciju surjekcije $(\forall y \in K)(\exist x \in D) y = f(x)$
    2. Koristimo $f(f^{-1}(y)) = y$, gdje je $y \in K$
    3. Sada moramo za svaki $y$ pronaći barem jedan $x$ tako da vrijedi $y = f(x)$
    4. Uzmimo da nam je $x = f^{-1}(y)$
    • $$\begin{align*} y &= f(x) \qquad\qquad \text{(Umjesto x uvrštavamo} \space f^{-1} (y)\text{)} \\ y &=f(f^{-1}(y)) \qquad \qquad \text{(Koristimo formulu b)} \\ y&=y \qquad \qquad \qquad\text{(Dokazali smo surjektivnost)}\end{align*}$$
• $B \implies A$
  • Pretpostavimo B i dokazujemo A
    • Definicija bijekcije $(\forall y \in K)(\exist ! x \in D) \space y = f(x)$
    • Želimo pokazati da vrijede svojstva inverzne funckije
      • $f^{-1}(f(x)) = x$
      • $f(f^{-1}(y)) = y$
    • Definiramo $f:D \to K$ i $g:K \to D$
    • Definiramo $g(y) \coloneqq x$
      • Ovo vrijedi jer funkcija $g$ pridružuje elemente kodomene fukcnije $f$ elementima njezine domene
    • Definiramo $f(x) \coloneqq y$
      • Ovo vrijedi jer funkcija $f$ pridružuje elemente domeni svojoj kodomeni
    • Dokazujemo svojsta inverzne 2 svojstva inverzne funckije koje smo ranije naveli
      • za proizvoljni $x \in D$, $g(f(x)) = g(y) = x$
      • za proizvoljni $y \in K$, $f(g(y)) = f(x) = y$
      • Ovime smo dokazali $B \implies A$
• Ovime smo dokazali teorem